Поява кратних нулів Простий нуль виглядає як y = x, тобто графік перетинає вісь x. Подвійний нуль виглядає як y = x2, тобто графік торкається осі х. Потрійний нуль виглядає як y = x3, тобто графік перетинає вісь х. тощо
Подвійні нулі Завжди є максимум або мінімум. Оскільки перша похідна дорівнює 0 при максимумі або мінімумі, це стосується подвійного нуля f(x)=0=f´(x)=0.
Лінійний множник може з’являтися більше двох разів у члені функції. Наприклад, для функції f з f (x) = (x – 2) 3 лінійний множник (x – 2) зустрічається тричі. Нуль x = 2 називається потрійним нулем.
Виникає подвійний нуль функції якщо не тільки значення функції стає нулем при певному значенні x, але також перша похідна функції дорівнює нулю в цій точці. У математичному вираженні це означає, що для функції та нуля мають виконуватися f ( a ) = 0 і f ′ ( a ) = 0.
Кратність нулів – значення
| функція | Представлення лінійного фактора | різноманітність Нульова точка |
|---|---|---|
| f ( x ) = x 2 + 2 x + 1 | f ( x ) = ( x + 1 ) 2 | подвійний Нульова точка |
| f ( x ) = x 3 + 3 x 2 + 3 x + 1 | f ( x ) = ( x + 1 ) 3 | потрійний Нульова точка |
| f ( x ) = x 4 + 4 x 3 + 6 x 2 + 4 x + 1 | f ( x ) = ( x + 1 ) 4 | чотиримісний Нульова точка |
Визначте кількість нулів за допомогою дискримінанта Кількість нулів квадратичної функції f відповідає кількості розв’язків квадратного рівняння f(x)=0. Отже, визначити кількість нулів можна за допомогою дискримінанта квадратного рівняння.